Геометрична прогресия

от Уикипедия, свободната енциклопедия

В математиката геометрична прогресия е редица от числа, в която първото число е различно от нула, а всяко друго число е получено от педишното чрез умножение с константа, различна от нула. Тази константа се нарича частно. Например редицата 2, 4, 8, 16, ... е геометрична прогресия с първи член 2 и частно 2, а геометричната прогресия 20, 10, 5,... е получена чрез умножение с 1/2.

За всяка геометрична прогресия

a 1, a 2,..., a n,...

е в сила $a n = a n - 1 q$ , където q ≠ 0 е частното на прогресията. Очевидно една геометрична прогресия е напълно определена, ако знаем първия й член и частното.

Съдържание

1 Формула за общия член
2 Анализ на частното
3 Свойства
- 3.1 Сума на геометричната прогресия
4 Вижте също

[редактиране] Формула за общия член

Формулата за n-тия член на прогресията е:

a n = a 1 q n - 1

.

[редактиране] Анализ на частното

q < 0 - ще се получи редуване на положителни и отрицателни числа,
q > 1 - клоняща към плюс безкрайност редица,
q < -1 - ще се получат 2 редици - едната, клоняща към минус безкрайност, а другата - към плюс безкрайност,
- 1 < q < 1 - редицата клони към 0,
q = 0 - редицата се състои само от нули.

[редактиране] Свойства

$a_{n}^2 = a_{n-1} a_{n+1}$

за всяко n ≥ 2, т. е. всеки член на геометричната прогресия след първия е средно геометричен на съседните си членове.

В сила е и обратното твърдение: Ако $a 1, a 2,..., a n,...$ е числова редица с ненулеви членове, в която всеки член след първия е средно геометричен на съседните си членове, то тази редица е геометрична прогресия.

Логаритмите на членовете на геометрична прогресия образуват аритметична прогресия.

[редактиране] Сума на геометричната прогресия

Сумата на първите n члена на геометричната прогресия е

$S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n = \sum_{i=1}^n a_i = a_1 \sum_{i=0}^{n-1} q^i$

или

$S_n = a_1 + a_1q + a_1q^2 + a_1q^3 + \dots + a_1q^{n-1}\,\,\,\,\, (1)$ .

Когато умножим двете страни на уравнение (1) по частното q полуаваме:

$qS_n = a_1q + a_1q^2 + a_1q^3 + a_1q^4 + \dots + a_1q^n\,\,\,\,\, (2)$

Когато извадим почленно (2) от (1), получаваме (забелязваме, че от членовете от $a 1 q$ до $a 1 q n - 1$ се повтарят в (1) и (2), т.е. при изваждане се съкращават и след изваждането, отдясно остават единствено $a 1$ и $a 1 q n$ :