Равностранен триъгълник

Равностранен триъгълник

Равностранен триъгълник е геометрична фигура, която има три равни страни и три равни ъгли, всеки от които е 60 градуса. Вътрешният ъгъл е 60°. Външният ъгъл е 120°. Сборът на ъглите е 180°. Апотемите разделят триъгълника на три равни делтоида. Централният ъгъл е 120°. Трите медиани, ъглополовящи и височини съвпадат, пресичайки се в обща точка, която съвпада и с центровете на вписаната и описаната окръжност.

Свойства

Равностранен триъгълник с равни страни a=b=c, ъгли α=β=γ и височини

Лице

Лицето S на равностранен триъгълник може да бъде намерено:

• По страната a:

$S=a^{2}{\frac {\sqrt {3}}{4}}={\frac {a^{2}}{4}}cot(30^{\circ })\approx 0,433\,a^{2}$

• По радиуса R на описаната окръжност:

$S=R^{2}{\frac {3{\sqrt {3}}}{4}}\approx 1,299\,R^{2}$

• По радиуса r на вписаната окръжност (т.е. апотемата):

$S=3r^{2}{\sqrt {3}}\approx 5,196\,r^{2}$

• По височината h:

$S={\frac {h^{2}}{\sqrt {3}}}=h^{2}\cdot tan(30^{\circ })\approx 0,57735\,h^{2}$

Отношения

• Височината h спрямо страната a: $h={\frac {\sqrt {3}}{2}}a$
• Височината h спрямо радиуса r на вписаната окръжност: $h=3r$
• Радиусът R на описаната спрямо r на вписаната окръжност: $R=2r$
• Равни страни: Всичките три страни са с еднаква дължина.
• Равни ъгли: Всеки от вътрешните ъгли е 60 градуса.
• Околна окръжност: Всяка околна окръжност на равностранен триъгълник може да се начертае, като центърът ѝ съвпада с пресечната точка на медианите (центроидът), ортоцентъра (височината), и центърът на описаната окръжност (центърът на окръжността, която минава през всичките му върхове).

Построение

Тъй като 3 е просто число на Ферма, равностранен триъгълник може да бъде построен с линийка и пергел:

Използване

• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 

Многостени

Платонови тела

• 
  тетраедър
• 
  октаедър
• 
  икосаедър

Архимедови тела

• 
  пресечен тетраедър
• 
  кубоктаедър
• 
  пресечен куб
• 
  ромбикубоктаедър
• 
  скосен куб
• 
  икосидодекаедър
• 
  пресечен додекаедър
• 
  ромбикосидодекаедър
• 
  скосен додекаедър

Призматоиди

• 
  триъгълна призма
• 
  квадратна антипризма
• 
  петоъгълна антипризма
• 
  шестоъгълна антипризма
• 
  седмоъгълна антипризма
• 
  осмоъгълна антипризма
• 
  деветоъгълна антипризма
• 
  десетоъгълна антипризма
• 
  единадесетоъгълна антипризма
• 
  дванадесетоъгълна антипризма
• 
  пентаграмична антипризма
• 
  кръстосана пенаграмична антипризма
• 
  хептаграмична антипризма втора степен
• 
  хептаграмична антипризма трета степен
• 
  кръстосана хептаграмична антипризма
• 
  октаграмична антипризма
• 
  кръстосана октаграмична антипризма
• 
  енеаграмична антипризма втора степен
• 
  енеаграмична антипризма четвърта степен
• 
  кръстосана енеаграмична антипризма
• 
  декаграмична антипризма
• 
  хендекаграмична антипризма втора степен
• 
  хендекаграмична антипризма трета степен
• 
  хендекаграмична антипризма четвърта степен
• 
  хендекаграмична антипризма пета степен
• 
  кръстосана хендекаграмична антипризма
• 
  силнокръстосана хендекаграмична антипризма
• 
  додекаграмична антипризма
• 
  кръстосана додекаграмична антипризма

Еднообразни звездовидни многостени

• 
  голям икосаедър
• 
  тетрахемихексаедър
• 
  октахемиоктаедър
• 
  голям кубикубоктаедър
• 
  вдлъбнат голям ромбикубоктаедър
• 
  малък кубикубоктаедър
• 
  звездовиден пресечен хексаедър
• 
  голям додецикосидодекаедър
• 
  вдлъбнат голям ромбикосидодекаедър
• 
  малък скосен икосикосидодекаедър
• 
  малък икосихемидодекаедър
• 
  голям икосидодекаедър
• 
  голям икосихемидодекаедър
• 
  голям двутриъгълен додецикосидодекаедър
• 
  голям икосикосидодекаедър
• 
  малък задноскосен икосикосидодекаедър
• 
  малък двутриъгълен икосидодекаедър
• 
  голям двутриъгълен икосидодекаедър
• 
  малък додецикосидодекаедър
• 
  малък звездовиден пресечен додекаедър
• 
  малък икосикосидодекаедър
• 
  малък двутриъгълен додецикосидодекаедър
• 
  голям диромбикосидодекаедър
• 
  голям скосен додецикосидодекаедър
• 
  голям двускосен диромбидодекаедър
• 
  скосен додекадодекаедър
• 
  скосен икосидодекадодекаедър
• 
  голям скосен икосидодекаедър
• 
  голям обърнат скосен икосидодекаедър
• 
  обърнат скосен додекадодекаедър
• 
  голям задноскосен икосидодекаедър

Пана

• 
  скосено квадратно пано
• 
  триъгълно пано
• 
  тришестоъгълно пано
• 
  пресечено шестоъгълно пано
• 
  четиритришестоъгълно пано
• 
  скосено тришестоъгълно пано
• 
  удължено триъгълно пано
• 
  додекагонирано квадратно пано
• 
  нееднобразно скосено тришестоъгълно пано
• 
  шестоделно пресечено тришестоъгълно пано
• 
  завъртяно удължено тришестоъгълно пано
• 
  частичношестоделно шестоъгълно пано
• 
  завъртяно тришестоъгълно пано